所謂的和定最值問題是指，多個數(shù)的和一定時，求其中某個數(shù)的最大值或者最小值問題。比如說，甲乙兩個人總共有一百萬，問甲最多有多少。這就是典型的和定最值問題。
題目的問法可能是以下幾種：求最小值的最小值，最大值的最大值，最大值的最小值，最小值的最大值，第二大數(shù)字的最小值等等。但以上所有的問法，都逃不出我即將要講到的和定最值問題最精準(zhǔn)的三種走位。
(一)走位1——元素相異，正難則反。
針對題目中強(qiáng)調(diào)了元素不同，而且求最值不太好計算的時候，我們需從反面考量要求的問題。比如說要求一個數(shù)的最大值，那么就要保證其余元素盡可能小;要求一個數(shù)的最小值，那么就要保證其余元素盡可能大。我們以天津市2014年真題為例進(jìn)行走位解讀。
【例1】假設(shè)7個相異正整數(shù)的平均數(shù)是14，中位數(shù)是18，則此7個正整數(shù)中最大數(shù)的最大值是多少：
A26 B35 C44 D58
【解析】
此題就是相異元素、正難則反的典型代表。
7個正整數(shù)的平均值為14，則7個正整數(shù)的數(shù)值總和為7*14=98。中位數(shù)為18，則表明7個正整數(shù)中有3個小于18，3個大于18。為了讓正整數(shù)中最大的數(shù)取到最大，直接算明顯是算不出來的，則應(yīng)讓其他5個數(shù)盡可能的小。小于18的最小數(shù)可以為1、2、3;大于18的最小數(shù)可以為：19、20、x。則此時x數(shù)最大，最大為98-1-2-3-18-19-20=35。正確答案為B。
此類題型不難，采取的是較為常規(guī)的逆向思維與方程法的配合，并且契合了極限核心思想，也就是湊、均等、接近的問題。 各位考生只需要多探究此類型問題并深入把握，再進(jìn)行針對性的練習(xí)，即可正確get走位1。
(2)走位2——元素相同，直接除法。
針對題目中并未出現(xiàn)元素不同，也就是元素有可能相同的情況。我們即可借助走位1，更可另辟蹊徑進(jìn)行走位2，下面我們來研究下面一道真題。
【例題2】某單位2011年招聘了65名畢業(yè)生，擬分配到該單位的7個不同部門，假設(shè)行政部門分得的畢業(yè)生人數(shù)比其他部門都多，問行政部門分得的畢業(yè)生人數(shù)至少為多少名?
A、10 B、11 C、12 D、13
【解析】
這道題用走位1也可計算，也就是設(shè)行政部門人數(shù)為x，要求它的最小值，就需要保證其余人數(shù)都盡可能大，那么就都是x-1，這樣一來列方程就是6(x-1)+x=71。解出來x=10.14，進(jìn)而取11即可。
但是細(xì)心的考生會發(fā)現(xiàn)，這道題中并未出現(xiàn)元素不相同的字眼，那么根據(jù)極限思想中湊、均等、接近的原則，可直接做除法。即所有部門盡可能平均分，65÷7=9余2，即平均分配給7個不同部門還剩余2名畢業(yè)生，已知行政部門畢業(yè)生最多，所以只需將剩余的2名畢業(yè)生分配給行政部門即可(如果只分配1名，那么其他部門也會出現(xiàn)不少于10人的情況)，可得9+2=11名。正確答案為B。
此類題型相當(dāng)于和定最值走位1的一個小突破，是在把握和定最值核心思想的基礎(chǔ)上，直接利用最簡便的方式求解，關(guān)鍵是題目本身未設(shè)定元素相異，這樣一來走位2即可淋漓盡致的發(fā)揮。
(三)走位3——類型未知，先入為主
題目中如果連幾種元素都未知，也就是類型都沒給你，那就需先打好基礎(chǔ)。從元素類型的求解入手，再借助前兩種走位即可一舉破題。
【例題3】某工廠有100名工人報名參加了4項(xiàng)專業(yè)技能課程中的一項(xiàng)或多項(xiàng)，已知A課程與B課程不能同時報名。如果按照報名參加的課程對工人進(jìn)行分組，將報名參加的課程完全一樣的工人分到同一組中，則人數(shù)最多的組最少有多少人?
A、7 B、8 C、9 D、10
【解析】
假設(shè)有ABCD四個課程，當(dāng)只報名一種課程時，有4種類型;當(dāng)報名兩種課程時，除去同時報名A、B課程時的情況，有5種類型;當(dāng)報名三種課程時，共有ACD和BCD這2種情況;故共有類型數(shù)4+5+2=11種。類型求出后，直接利用走位2進(jìn)行除法運(yùn)算,100/11=9余數(shù)為1。剩下的1個人只能給人數(shù)最多的那個組，故人數(shù)最多的組最少為10人。正確答案為D。
這種類型難度系數(shù)偏高，既用到了部分排列組合知識求解類型，又結(jié)合了走位2進(jìn)行研究，一般考生掌握起來難度偏大。這種類型的題型特征，往往是沒告訴元素類型或者元素分組，這就需要考生先行求出，再利用走位1、走位2進(jìn)行求解。
通過以上的總結(jié)，相信各位考生對備戰(zhàn)此類題型都有了一定的了解，想要熟練掌握做題技巧，還離不開大量的習(xí)題練習(xí)，希望考生們勤于練習(xí)，爭取熟能生巧。
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